Círculo trigonométrico

Desenhe um círculo de raio 1 na origem. Um ponto girando nele tem coordenadas (cos θ, sen θ) — ou seja, o cosseno é a coordenada horizontal e o seno é a vertical. Toda a trigonometria vira geometria de um ponto que gira. E como o raio é 1, o Pitágoras do triângulo formado dá sen²θ + cos²θ = 1 — a relação fundamental cai de graça, sem demonstração.

Girar além de 90° não faz sentido no triângulo (não existe ângulo obtuso num triângulo retângulo), mas faz todo sentido no círculo — o ponto simplesmente continua girando. E daí saem os sinais: no 2º quadrante o seno é positivo e o cosseno negativo (o ponto está à esquerda e em cima); no 3º os dois negativos; no 4º cosseno positivo e seno negativo. Não é decoreba: é onde o ponto está.

Agora desenrole: plote a altura do ponto (o seno) contra o ângulo, enquanto ele gira. Sai uma onda — a senoide. Ela se repete a cada volta (2π), e é por isso que sen(θ + 2π) = sen θ: dar uma volta inteira te devolve ao mesmo lugar. Essa onda é a forma da corrente alternada, do som, da luz, da maré e do pêndulo. Todo movimento que se repete tem essa curva escondida — e ela nasceu de um ponto girando num círculo.