Combinatória

Permutação: ordenar todos os elementos. Com n elementos, são n! maneiras (n fatorial: n × (n−1) × … × 1). Cinco pessoas numa fila: 5! = 120 ordens. Arranjo: escolher p de n e a ordem importa. Combinação: escolher p de n e a ordem não importa. Três nomes, e a diferença entre os dois últimos é uma única pergunta.

Escolher 3 pessoas de 10 para o pódio (ouro, prata, bronze) é arranjo: 10 × 9 × 8 = 720, porque trocar quem é ouro com quem é prata dá outro resultado. Escolher 3 pessoas de 10 para uma comissão é combinação: 720 ÷ 6 = 120, porque as 3! = 6 ordens dos mesmos três nomes são a mesma comissão — e foram contadas repetidas.

É exatamente essa a razão do p! no denominador da combinação: você conta como se a ordem importasse e depois divide pelas repetições. C(n,p) = A(n,p)/p! — não é fórmula caída do céu, é correção de contagem dupla. A mesma ideia aparece na permutação com repetição: MATEMÁTICA tem letras repetidas, então divide-se pelos fatoriais das repetições, senão você conta a mesma palavra várias vezes. E é a mesma correção do "−n(A∩B)" dos conjuntos. A matemática repete suas ideias.