Esfera

Esfera é o conjunto dos pontos a uma distância fixa do centro. Volume: V = 4πr³/3. Área da superfície: A = 4πr². São duas fórmulas que vale a pena decorar, porque não saem de um recorte simples como as outras. Mas repare no padrão que já é seu conhecido: o volume tem r³, a área tem r².

Uma secção da esfera por um plano é sempre um círculo. Se o plano passa pelo centro, é o círculo máximo (raio r). Se passa longe, o círculo é menor — e o raio dele sai de Pitágoras: r_secção² = r² − d², onde d é a distância do plano ao centro. É assim que se calcula a área de um paralelo na Terra ou a boca de uma calota.

Entre todos os sólidos com o mesmo volume, a esfera é o que tem a menor área de superfície. É por isso que a gota d'água é esférica (a tensão superficial minimiza a área), que a bolha de sabão é esférica, que os planetas são quase esféricos, e que animais de regiões frias tendem a ser mais arredondados — menos superfície significa menos perda de calor. A forma não é estética: é consequência física, e a matemática explica por quê.