Função exponencial

f(x) = a · bˣ. A diferença brutal para a função afim está num detalhe de posição: lá, cada passo em x soma uma quantidade fixa; aqui, cada passo multiplica por um fator fixo. 2, 4, 8, 16, 32 — não é "sempre +2", é "sempre ×2". O b é a razão, e ele decide tudo: b > 1 → crescimento; 0 < b < 1 → decaimento.

Por isso a curva engana no começo e explode depois. Ela pode ficar quase colada no eixo por um tempo — perdendo até para a reta! — e de repente disparar para fora da tela. No decaimento acontece o oposto: cai rápido e depois vai chegando cada vez mais devagar do zero, sem nunca tocar. Essa linha que ela nunca alcança é a assíntota.

Essa curva é a mesma em lugares que parecem não ter nada em comum: juros compostos, população de bactérias, vírus numa pandemia, decaimento radioativo, reação nuclear em cadeia, depreciação de um carro, resfriamento de um café. O critério é sempre este: sempre que a variação for proporcional ao que já existe — quanto mais tem, mais cresce (ou mais decai) —, a curva é exponencial. É provavelmente a função mais importante para entender o mundo, e a que a intuição humana mais erra.