Leis do seno e do cosseno
Quando o triângulo não é retângulo, essas duas leis assumem.
A ideia, em 3 parágrafos
Seno, cosseno e tangente, do jeito que você aprendeu, só funcionam no triângulo retângulo. Para um triângulo qualquer, existem duas leis. A lei dos senos: a/sen A = b/sen B = c/sen C — os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles. Ela serve quando você tem um lado e dois ângulos, ou dois lados e um ângulo oposto.
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Quando cada lei serve; os casos de determinação de um triângulo.
A lei dos cossenos: a² = b² + c² − 2bc·cos A. Serve quando você tem dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados. E olhe o que acontece se A = 90°: cos 90° = 0, o último termo some, e sobra a² = b² + c² — Pitágoras. A lei dos cossenos é o Pitágoras generalizado; o teorema famoso é apenas o caso particular do ângulo reto.
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Lei dos senos e o circunraio (a/sen A = 2R); o caso ambíguo em duas linhas.
O termo "−2bc·cos A" é uma correção. Se o ângulo é agudo (cosseno positivo), ele subtrai, e a² fica menor que b² + c². Se é obtuso (cosseno negativo), ele soma, e a² fica maior. É exatamente o desajuste que você viu no lab de Pitágoras quando entortava o ângulo e a soma dos quadrados deixava de bater. A lei dos cossenos é a fórmula daquele desajuste — ela mede o quanto o triângulo deixou de ser retângulo.
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Lei dos cossenos como Pitágoras generalizado; a correção pelo sinal do cosseno; área do triângulo por (bc·sen A)/2.
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