Plano cartesiano e distância

O plano cartesiano dá a cada ponto um endereço: (x, y). E Descartes percebeu uma coisa enorme: isso funde duas matemáticas. A geometria vira álgebra e a álgebra vira geometria. Uma reta vira uma equação. Um círculo vira uma equação. E resolver um sistema passa a ser achar onde as figuras se cruzam — que é exatamente o que você já fez no módulo 5.

A distância entre dois pontos é Pitágoras disfarçado: a diferença em x é um cateto, a diferença em y é o outro, e a distância é a hipotenusa. d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). Não é uma fórmula nova para decorar — é o mesmo teorema, com os catetos escritos como diferenças de coordenadas. Ver isso economiza memória.

O ponto médio é a média das coordenadas: M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) — faz sentido, é o meio em cada direção separadamente. E a área de um triângulo com os três vértices dados sai de um determinante. Toda a geometria plana que você fez com régua e compasso pode ser refeita com contas — e é exatamente isso que permite um computador desenhar, um GPS localizar e um jogo renderizar um mundo inteiro.