Progressão aritmética
Sempre a mesma soma — e por isso a PA é uma função afim com passos.
A ideia, em 3 parágrafos
Progressão aritmética é uma sequência em que cada termo é o anterior mais uma constante — a razão r. 3, 7, 11, 15… (r = 4). Se r > 0 cresce; r < 0 decresce; r = 0 fica parada. O termo geral não precisa ser decorado, ele se deduz: para chegar no termo n, você anda (n−1) passos de tamanho r a partir do primeiro. Daí aₙ = a₁ + (n−1)·r.
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Razão; PA crescente, decrescente e constante; a dedução do termo geral.
A soma tem um truque que Gauss descobriu aos 10 anos, quando o professor mandou somar 1 até 100 para calar a turma. Ele emparelhou: 1+100 = 101, 2+99 = 101, 3+98 = 101… são 50 pares de 101 = 5.050, em segundos. Daí sai Sₙ = (a₁ + aₙ)·n/2 — "a soma das pontas vezes a metade da quantidade". A fórmula é o emparelhamento.
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O truque de Gauss e a fórmula da soma; termos equidistantes.
Repare no gráfico: os pontos de uma PA ficam alinhados. Não é coincidência — a PA é a função afim vista só nos números inteiros, e a razão r é exatamente a inclinação a. Juros simples são uma PA. O movimento uniforme é uma PA. Tudo que soma sempre a mesma coisa por período é PA, e portanto é reta. Duas linguagens, um objeto.
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PA e função afim são o mesmo objeto; PA e juros simples; interpolação aritmética.
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