Quadrado da soma (a+b)²

(a+b)² não é a² + b². Esse é o erro mais famoso da matemática escolar, e ele tem um antídoto visual: desenhe um quadrado de lado (a+b). Ele se corta em quatro pedaços: um quadrado a², um quadrado b², e dois retângulos ab. Total: a² + 2ab + b². Os dois retângulos que o aluno esquece estão lá, ocupando área. Não dá para esquecê-los quando se vê o desenho.

Os outros dois saem do mesmo desenho. (a−b)² = a² − 2ab + b² — o mesmo corte, tirando em vez de pondo. E (a+b)(a−b) = a² − b², a diferença de quadrados: um retângulo que, recortado e remontado, vira a diferença de dois quadrados. Três fórmulas, um desenho só.

E isso não é enfeite de prova: é ferramenta de cálculo mental. 102² = (100+2)² = 10.000 + 400 + 4 = 10.404, sem conta armada. 98² = (100−2)² = 9.604. 101 × 99 = (100+1)(100−1) = 10.000 − 1 = 9.999. Além disso, produto notável é a base da fatoração — que resolve equação do 2º grau sem Bhaskara e simplifica fração algébrica. É das poucas fórmulas que economizam tempo em vez de gastar.